Проецирование плоских фигур. Плоскости и их проекции

Плоскость

Элементы, определяющие плоскость

Плоскость в пространстве определяют:

1) тремя точками (на эпюре каждая точка определяется минимально двумя своими проекциями (рис. 48));

2) прямой и точкой вне ее (рис. 49). В свою очередь прямая в пространстве определяется двумя точками. Отсюда возможность перехода от задания 2) к заданию 1);

Рис. 48 Рис. 49

3) двумя пересекающимися прямыми (рис. 50). Сравните с заданиями 1) и 2);

Рис. 50 Рис. 51

4) двумя параллельными прямыми (рис. 51). Сравните с 1), 2), 3);

5) любой плоской фигурой (рис.52).

Рис. 52

Различные положения плоскости в пространстве

Плоскости уровня

1. Горизонтальная плоскость или плоскость горизонтального уровня – это плоскость w, параллельная горизонтальной плоскости проекций П 1 (рис. 53). На плоскость П 1 любые фигуры плоскости w проецируются в натуральную величину, а на П 2 и П 3 плоскость проецируется в прямые w 2 и w 3 , которые называются вырожденными проекциями плоскости. Для задания плоскости w на эпюре достаточно одной ее вырожденной проекции, например w 2 .

Рис. 53

2. Фронтальная плоскость или плоскость фронтального уровня , это плоскость υ параллельная фронтальной плоскости проекций (рис. 54). На плоскость П 2 она проецируется в натуральную величину, а на П 1 и П 3 вырождается в прямые υ 1 и υ 3 .

Рис. 54

3. Профильная плоскость или плоскость профильного уровня – это плоскость γ, параллельная профильной плоскости проекций П 3 (рис. 55). На плоскость П 3 она проецируется в натуральную величину, а на П 1 и П 2 вырождается в прямые γ 1 , γ 2 .

По изображению предмета на одной плоскости проекций во многих случаях нельзя судить о его форме и размерах. Предметы, показанные на рис. 4.3, – прямоугольная пластинка, треугольная призма, прямоугольный параллелепипед и параллелепипед с частью цилиндра, – дают в этом случае одинаковые проекции в виде прямоугольника.

По одной проекции можно судить лишь о двух измерениях предмета.

Но и две проекции предмета часто недостаточно полно отображают его форму. Так, например, две проекции прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.3, а, б ) неоднозначно отображают его форму. Такие две проекции могут иметь и треугольная призма (рис. 4.3, в ), и призма с закруглением (рис. 4.3, г ), и т.д.

Рис. 4.3.

Чтобы получить полное представление о форме и размерах предмета, его нужно спроецировать на две, три или более плоскостей. Для простоты проецирования эти плоскости располагают взаимно перпендикулярно. Таким образом, три плоскости образуют прямой трехгранный угол (рис. 4.4, а ). Каждой плоскости даны название и обозначение (рис. 4.4б а , б ).

Рис. 4.4.

Вертикальная плоскость, расположенная прямо перед нами, называется фронтальной плоскостью проекций. Она обозначается латинской буквой π 2. Под прямым углом к ней горизонтально располагается плоскость проекций, называемая горизонтальной плоскостью. Она обозначается латинской буквой π1. Перпендикулярно этим плоскостям располагается еще одна вертикальная плоскость, обозначенная буквой π3, называемая профильной плоскостью проекций. Попарное пересечение плоскостей трехгранного угла образует прямые линии – оси проекций, исходящие из точки О. Пересечение фронтальной и горизонтальной плоскостей проекций образует ось х, фронтальной и профильной – ось z1, профильной и горизонтальной – ось у (рис. 4.4, б ).

На рис. 4.4, а изображен трехгранный угол. Его грани взаимно перпендикулярны и не лежат в одной плоскости. Однако чертеж выполняется на плоскости. Для того чтобы изображения, полученные на сторонах трехгранного угла, оказались в одной плоскости, две грани этого угла развертывают до совмещения с третьей гранью, т.е. до такого положения, когда все три плоскости трехгранного угла окажутся в одной плоскости. Для этого горизонтальную плоскость поворачивают вокруг оси х вниз на 90°, профильную плоскость – вокруг оси z на 90° вправо, как показано стрелками. Тогда обе эти плоскости совмещаются с неподвижной фронтальной. При этом горизонтальная плоскость располагается под фронтальной, а профильная – справа от нее (рис. 4.4, б ).

Ось у как бы распадается на две: у и у 1.

Линии, ограничивающие плоскости проекций квадратами, взяты условно и значения не имеют, поэтому их обычно не проводят. Тогда плоскости проекций изобразятся, как показано на рис. 4.4, в.

Комплексный чертеж предмета

Изучив, как строят проекции точек, отрезков прямых и плоских фигур, т.е. элементов, которые ограничивают различные предметы (изделия или их составные части), можно перейти к рассмотрению способов получения прямоугольных изображений самих предметов.

На рис. 4.5, а представлен прямой трехгранный угол. Перед его плоскостями помещен изображаемый предмет – упор. Он расположен так, чтобы возможно большее число его граней было параллельно или перпендикулярно плоскостям проекций. Это значительно облегчает процесс проецирования.

Рис. 4.5.

Чтобы получить прямоугольные проекции изображаемого предмета, необходимо провести проецирующие лучи перпендикулярно плоскостям проекций.

Спроецируем упор на фронтальную плоскость проекций π2. Точки пересечения проецирующих лучей с этой плоскостью дадут проекции вершин упора. Соединив соответствующим образом эти точки, получим фронтальную проекцию, или вид спереди. Вид спереди называют также главным видом.

Построим проекцию упора на горизонтальной плоскости проекции π1 – вид сверху. Для этого опустим на горизонтальную плоскость перпендикуляры, проходящие через вершины упора, и полученные точки их пересечения с плоскостью соединим отрезками прямых.

Проведя проецирующие лучи на профильную плоскость проекций π3 и выполнив построения, аналогичные предыдущим, получим профильную проекцию изображаемого предмета – вид слева.

Сравнивая наглядное изображение упора с его проекциями (рис. 4.5, а ) и вспоминая изученное, можно установить следующее.

Во-первых, проекции упора на каждой из плоскостей проекций π2, π1, π3 представляют собой изображения не только одной стороны детали, но и всего предмета, всех его вершин, ребер и граней, если на горизонтальной и профильной проекциях штриховыми линиями показать невидимый сверху и слева контур детали. На фронтальной плоскости проекций видна лишь передняя грань упора. Это происходит потому, что боковые грани, перпендикулярные плоскости проекций, изобразились на ней в виде отрезков прямых. Грани, параллельные соответствующим плоскостям проекций, изображаются без искажения размеров.

Во-вторых, ребра, перпендикулярные плоскости проекций, изобразились на ней в виде точек (например, ребро АВ на горизонтальной плоскости проекций), а ребра, параллельные плоскости проекций, изобразились на ней в натуральную величину (например, ребро АВ на фронтальной и профильной плоскостях проекций).

В-третьих, наклонная грань упора ни на одной плоскости проекций не изобразилась в натуральную величину, хотя размер одной стороны этой грани можно измерить по проекции ее ребра, параллельного фронтальной плоскости проекций, а размер другой – по проекции ребра, параллельного горизонтальной и профильной плоскостям проекций, на одной из них.

Развернем плоскости проекций так, как это было показано на рис. 4.4, чтобы совместить их в плоскости чертежа (рис. 4.5, б ). Фронтальная плоскость π2 при этом остается неподвижной, горизонтальная π1 поворачивается вокруг оси х вниз на 90°, профильная π3 поворачивается вокруг оси z на 90° вправо. Тогда виды расположатся так: вид сверху – под главным видом, а вид слева – справа от главного вида и на уровне его.

Фронтальные и горизонтальные проекции одноименных точек находятся при этом на одних перпендикулярах к оси х (например, фронтальная а" и горизонтальная а проекции точки А , а их фронтальные и профильные проекции располагаются на одних перпендикулярах к оси z (например, фронтальная а" и профильная а" проекции точки А ). Эти перпендикуляры называют линиями связи. Таким образом, все три проекции упора оказываются связанными между собой. Положение любых двух проекций определяет положение третьей.

На чертежах не проводят рамки, ограничивающие плоскости проекций, и линии связи (см. рис. 4.4, в). Удалив их, мы получим чертеж, представленный на рис. 4.5, в.

Иногда изображения предмета на совмещенных плоскостях проекций называют комплексным чертежом.

Так строят чертежи в системе прямоугольных проекций. Однако нас интересует не только построение чертежей, но и чтение их, т.е. процесс представления пространственной формы предмета по его плоским изображениям.

Для того чтобы прочитать чертеж, нужно представить себе, в результате чего получилось на нем то или иное изображение, подумать, какое тело могло дать рассматриваемые проекции. При этом нельзя рассматривать проекции изолированно одну от другой. Необходимо мысленно объединить в единое целое представления о всех проекциях, данных на чертеже. 1

• Горизонтальные проекции точек будем обозначать без штриха (а ), фронтальные – с одним штрихом (а" ) и профильные – с двумя штрихами (в"). Читается: "а малое штрих", "а малое два штриха".

Характеристика	Наглядное изображение	Эпюр
Фронтальнаяплоскость – это плоскость, параллельная плоскости p 2 . Эта плоскость пересекает плоскость p 1 параллельно оси ОХ, а плоскость p 3 – по линии, параллельной оси OZ
Горизонтальная плоскость – это плоскость, параллельная плоскости проекции p 1 . Эта плоскость пересекает плоскость p 2 параллельно оси ОХ, а плоскость p 3 – параллельно оси ОУ
Профильная плоскость – это плоскость, параллельная плоскости p 3 . Эта плоскость пересекает плоскости проекций p 1 и p 2 по линиям, параллельным оси Z

11. Назовите главные линии плоскости Изобразите их

12. поясните, какое взаимное положение могут занимать плоскость и пряма, две плоскости. Назовите признаки взаимного положения. Рассмотрите пример построения на комплексном чертеже.

Прямая параллельна плоскости , если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы построить такую прямую, необходимо в плоскости задать любую прямую и параллельно ей провести требуемую.

Рис. 1.53 Рис. 1.54 Рис.1.55

Пусть через точку А (рис. 1.53) необходимо провести прямую АВ , параллельную плоскости Q , заданную треугольником CDF. Для этого через фронтальную проекцию точки а / точки А проведем фронтальную проекцию а / в / искомой прямой параллельно фронтальной проекции любой прямой, лежащей в плоскости Р, например, прямой CD (а / в / !! с / д / ). Через горизонтальную проекцию а точки А параллельно сд проводим горизонтальную проекцию ав искомой прямой АВ (ав11 сд). Прямая АВ параллельна плоскости Р, заданной треугольником CDF.

Из всех возможных положений прямой, пересекающей плоскость, отметим случай, когда прямая перпендикулярна плоскости. Рассмотрим свойства проекций такой прямой.

Рис. 1.56 Рис. 1.57

Прямая перпендикулярна плоскости (частный случай пересечения прямой с плоскостью) если она перпендикулярна какой-либо прямой, лежащей в плоскости. Для построения проекций перпендикуляра к плоскости, находящейся в общем положении, этого недостаточно без преобразования проекций. Поэтому вводят дополнительное условие: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся главным линиям (для построения проекций используется условие проецирования прямого угла). В этом случае: горизонтальная и фронтальная проекции перпендикуляра перпендикулярны соответственно горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали данной плоскости общего положения (рис. 1.54). При задании плоскости следами проекции перпендикуляра перпендикулярны соответственно фронтальная – фронтальному следу, горизонтальная – горизонтальному следу плоскости (рис. 1.55).

Пересечение прямой с проецирующей плоскостью.Рассмотрим прямую, пересекающую плоскость , когда плоскость находится в частном положении.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций (проецирующая плоскость), проецируется на нее в виде прямой линии. На этой прямой (проекции плоскости) должна находиться соответствующая проекция точки, в которой некоторая прямая пересекает эту плоскость (рис.1.56).

На рисунке 1.56 фронтальная проекция точки К пересечения прямой АВ с треугольником СDE определяется в пересечении их фронтальных проекций, т.к. треугольник СDE проецируется на фронтальную плоскость в виде прямой линии. Находим горизонтальную проекцию точки пересечения прямой с плоскостью (она лежит на горизонтальной проекции прямой). Способом конкурирующих точек, определяем видимость прямой АВ относительно плоскости треугольника СDE на горизонтальной плоскости проекций.

На рисунке 1.59 изображена горизонтально-проецирующая плоскость P и прямая общего положения АВ . Т.к. плоскость Р перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то все, что в ней находится, на горизонтальную плоскость проекций проецируется на ее след, в том числе и точка ее пересечения с прямой АВ . Следовательно, на комплексном чертеже имеем горизонтальную проекцию точки пересечения прямой с плоскостью Р . По принадлежности точки прямой, находим фронтальную проекцию точки пересечения прямой АВ с плоскость Р . Определяем видимость прямой на фронтальной плоскости проекций.

Рис. 1.58 Рис. 1.59

На рисунке 1.58 дан комплексный чертеж построения проекций точки пересечения прямой АВ с плоскостью горизонтального уровня G .Фронтальный след плоскости G является ее фронтальной проекцией. Фронтальная проекция точки пересечения плоскости G с прямой АВ определятся в пересечении фронтальной проекции прямой и фронтального следа плоскости. Имея фронтальную проекцию точки пересечения, находим горизонтальную проекцию точки пересечения прямой АВ с плоскостью G .

На рисунке 1.57 изображена плоскость общего положения, заданная треугольником CDE и фронтально-проецирующая прямая АВ ? пересекающая плоскость в точке K. Фронтальная проекция точки – k / совпадает с точками a / и b / . Для построения горизонтальной проекции точки пересечения проведем через точку K в плоскости CDE прямую (например, 1-2 ). Построим ее фронтальную проекцию, а затем горизонтальную. Точка K является точкой пересечения прямых AB и 1-2. То есть точка K одновременно принадлежит прямой AB и плоскости треугольника и, следовательно, является точкой их пересечения.

Пересечение двух плоскостей.Прямая линия пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям, или одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии. В обоих случаях задача заключается в нахождении точки, общей для двух плоскостей.

Пересечение проецирующих плоскостей. Две плоскости могут быть параллельны между собой или пересекаться. Рассмотрим случаи взаимного пересечения плоскостей.

Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двух плоскостей, вполне определяется двумя точками, из которых каждая принадлежит обеим плоскостям, следовательно, необходимо и достаточно найти эти две точки, принадлежащей линии пересечения двух заданных плоскостей.

Следовательно, в общем случае для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти какие-либо две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. Эти точки и определяют линию пересечения плоскостей. Для нахождения каждой из этих двух точек обычно приходится выполнять специальные построения. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей перпендикулярна (или параллельна) к какой-либо плоскости проекций, то построение проекции линии их пересечения упрощается.

Рис. 1.60 Рис. 1.61

Если плоскости, заданны следами, то естественно искать точки, определяющие прямую пересечения плоскостей, в точках пересечения одноименных следов плоскостей попарно: прямая, проходящая через эти точки, является общей для обеих плоскостей, т.е. их линией пересечения.

Рассмотрим частные случаи расположения одной (или обеих) из пересекающихся плоскостей.

На комплексном чертеже (рис.1.60) изображены горизонтально-проецирующие плоскости P и Q. Тогда горизонтальная проекция их линии пересечения вырождается в точку, а фронтальная проекция – в прямую, перпендикулярную оси оx.

На комплексном чертеже (рис. 1.61) изображены плоскости частного положения: плоскость Р перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций (горизонтально-проецирующая плоскость) и плоскость Q - плоскость горизонтального уровня. В этом случая, горизонтальная проекция их линии пересечения совпадет с горизонтальным следом плоскости Р , а фронтальная – с фронтальным следом плоскости Q .

В случае задания плоскостей следами легко установить, что эти плоскости пересекаются: если хотя бы одна пара одноименных следов пересекается, то плоскости пересекаются между собой.

Изложенное относится к плоскостям, заданных пересекающимися следами. Если же обе плоскости имеют на горизонтальной и фронтальной плоскостях следы, параллельные друг другу, то эти плоскости могут быть параллельны либо пересекаться. О взаимном положении таких плоскостей можно судить, построив третью проекцию (третий след). Если следы обеих плоскостей на третьей проекции так же параллельны, то плоскости параллельны между собой. Если следы на третьей плоскости пересекаются, то заданные в пространстве плоскости пересекаются.

На комплексном чертеже (рис.1.62) изображены фронтально-проецирующие плоскости, заданные треугольником АВС и DEF . Проекция линии пересечения на фронтальной плоскости проекций – точка, т.е. так как треугольники перпендикулярны фронтальной плоскости проекций, то и их линия пересечения так же перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. Следовательно горизонтальная проекции линии пересечения треугольников (12 ) перпендикулярна оси оx. Видимость элементов треугольников на горизонтальной плоскости проекции определяется с помощью конкурирующих точек (3,4).

На комплексном чертеже (рис. 1.63) заданы две плоскости: одна из которых треугольником АВС общего положения, другая – треугольником DEF перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, т.е. находящийся в частном положении (фронтально-проецирующий). Фронтальная проекция линии пересечения треугольников (1 / 2 / ) находится исходя из общих точек, одновременно принадлежащих обоим треугольникам (все, что находится во фронтально- проецирующем треугольнике DEF на фронтальной проекции выльется в линию – проекцию его на фронтальную плоскость, в том числе и линия его пересечения с треугольником АВС. По принадлежности точек пересечения сторонам треугольника АВС , находим горизонтальную проекцию линии пересечения треугольников. Способом конкурирующих точек определяем видимость элементов треугольников на горизонтальной плоскости проекций.

Рис. 1.63 Рис. 1.64

На рисунке 1.64 дан комплексный чертеж двух плоскостей, заданных треугольником общего положения АВС и горизонтально-проецирующая плоскость Р , заданная следами. Так как плоскость Р – горизонтально- проецирующая, то все, что в ней находится, в том числе и линия ее пересечения с плоскостью треугольника АВС , на горизонтальной проекции совпадет с ее

горизонтальным следом. Фронтальную проекцию линии пересечения данных плоскостей находим из условия принадлежности точек элемента (сторонам) плоскости общего положения.

В случае задания плоскостей общего положения не следами, то для получения линии пересечения плоскостей последовательно находится точка встречи стороны одного треугольника с плоскостью другого треугольника. Если плоскости общего положения заданы не треугольниками, то линию ппересечения таких плоскостей можно найти путем введения поочередно двух вспомогательных секущих плоскостей – проецирующих (для задания плоскостей треугольниками) или уровня для всех других случаев.

Пересечение прямой общего положения с плоскость общего положения.Ранее были рассмотрены случаи пересечения плоскостей, когда одна из них являлась проецирующей. На основе этого мы можем найти точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения, путем введения дополнительной проецирующей плоскости-посредника.

Прежде чем рассматривать пересечение плоскостей общего положения, рассмотрим пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения.

Для нахождения точки встречи прямой общего положения с плоскостью общего положения необходимо:

1) прямую заключить во вспомогательную проецирующую плоскость,

2) найти линию пересечения заданной и вспомогательных плоскостей,

Определить общую точку, принадлежащую одновременно двум плоскостям (это их линия пересечения) и прямой.

Рис. 1.65 Рис. 1.66

Рис. 1.67 Рис. 1.68

На комплексном чертеже (рис. 1.65) изображен треугольник СDE общего положения и прямая АВ общего положения. Для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью, заключим прямую АВ Q . Найдем линию пересечения (12 ) плоскости- посредника Q и заданной плоскости СDE . При построении горизонтально проекции линии пересечения найдется общая точка К , одновременно принадлежащая двум плоскостям и заданной прямой АВ . Из принадлежности точки прямой находим фронтальную проекцию точки пересечения прямой с заданной плоскостью. Видимость элементов прямой на плоскостях проекций, определяем с помощью конкурирующих точек.

На рисунке 1.66 показан пример нахождения точки встречи прямой АВ , являющейся горизонталью (прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций) и плоскости Р , общего положения, заданной следами. Для нахождения точки их пересечения, прямая АВ заключается в горизонтально- проецирующую плоскость Q. Далее поступают, как и в выше изложенном примере.

Для нахождения точки встречи горизонтально-проецирующей прямой АВ с плоскостью общего положения (рис. 1.67), через точку встречи прямой с плоскостью (ее горизонтальная проекция совпадает с горизонтальной проекцией самой прямой) проводим горизонталь (т.е. привязываем точку пересечения прямой с плоскостью в плоскость Р ). Найдя фронтальную проекцию проведенной горизонтали в плоскости Р , отмечаем фронтальную проекцию точки встречи прямой АВ с плоскостью Р.

Для нахождения линии пересечения плоскостей общего положения, заданных следами достаточно отметить две общие точки, одновременно принадлежащие обеим плоскостям. Такими точками являются точки пересечения их следов (рис.1.68).

Для нахождения линии пересечения плоскостей общего положения, заданных двумя треугольниками (рис. 1.69), последовательно находим точку

встречи стороны одного треугольника с плоскостью другого треугольника. Взяв любые две стороны из любого треугольника, заключив их в проецирующие плоскости посредники, находятся две точки, одновременно принадлежащие обоим треугольникам – линия их пересечения.

На рисунке 1.69 дан комплексный чертеж треугольников ABC и DEF общего положения. Для нахождения линии пересечения данных плоскостей:

1. Заключаем сторону ВС треугольника АВС во фронтально- проецирующую плоскость S (выбор плоскостей совершенно произвольный).

2. Находим линию пересечения плоскости S и плоскости DEF – 12 .

3. Отмечаем горизонтальную проекцию точки встречи (общая точка двух треугольников) К из пересечения 12 и ВС и находим ее фронтальную проекцию на фронтальной проекции прямой ВС.

4. Проводим вторую вспомогательную проецирующую плоскость Q через сторону DF треугольника DEF .

5. Находим линию пересечения плоскости Q и треугольника АВС – 3 4.

6. Отмечаем горизонтальную проекцию точки L , являющейся точкой встречи стороны DF c плоскостью треугольника АВС и находим ее фронтальную проекцию.

7. Соединяем одноименные проекции точек К и L. К L – линя пересечения плоскостей общего положения, заданных треугольниками АВС и DEF .

8. Способом конкурирующих точек определяем видимость элементов треугольников на плоскостях проекций.

Так как выше изложенное действительно и для главных линий параллельных плоскостей, то можно сказать, что плоскости параллельны, если параллельны их одноименные следы (рис. 1.71).

На рисунке 1.72 показано построение плоскости параллельной заданной и проходящей через точку А. В первом случае через точку А проведена прямая (фронталь), параллельная заданной плоскости G . Тем самым проведена плоскость Р содержащая прямую параллельную заданной плоскости G и параллельная ей. Во втором случае через точку А проведена плоскость, заданная главными линиями из условия параллельности этих линий заданной плоскости G .

Взаимно-перпендикулярные плоскости.Если одна плоскость содержит

хотя бы одну прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие

плоскости перпендикулярны. На рисунке 1.73показаны взаимно перпендикулярные плоскости. На рисунке 1.74 показано построение плоскости, перпендикулярной заданной через точку А, используя условие перпендикулярности прямой (в данном случае главных линий) плоскости.

В первом случае через точку А проведена фронталь, перпендикулярная плоскости Р , построен ее горизонтальный след и через него проведен горизонтальный след плоскости Q , перпендикулярно горизонтальному следу плоскости Р . Через полученную точку схода следов Q X проведен фронтальный след плоскости Q перпендикулярно фронтальному следу плоскости Р .

Во втором случае в плоскости треугольника проведены горизонталь ВЕ и фронталь BF и через заданную точку А задаем плоскость пересекающимися прямыми (главными линиями), перпендикулярную плоскости треугольника. Для этого проводим через точку А горизонталь и фронталь. Горизонтальную проекцию горизонтали искомой плоскости (N ) проводим перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали треугольника, фронтальную проекцию фронтали новой плоскости (M ) – перпендикулярно фронтальной проекции фронтали треугольника.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ

Плоскостью называется поверхность, образуемая движением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой.

Проекции плоскости на комплексном чертеже будут различны в зависимости от того, чем она задана. Как известно из геометрии, плоскость может быть задана: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой; б) прямой линией и точкой, лежащей вне этой прямой; в) двумя пересекающимися прямыми; г) двумя параллельными прямыми.

На комплексном чертеже (рис. 99) проекции плоскости также задаются проекциями этих элементов, например, на рис 99, а - проекциями трех точек А, и С, не лежащих на одной прямой; на рис. 99, б - проекциями прямой ВС и точки А у не лежащей на этой прямой; на рис. 99, в - проекциями двух пересекающихся прямых; на рис. 99, г проекциями двух параллельных прямых линий АВ и CD.

На рис. 100 плоскость задана прямыми линиями, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Такие линии называются следами плоскости.
Линия пересечения данной плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций Н называется горизонтальным следом плоскости Р и обозначается Р н.
Линия пересечения плоскости Р с фронтальной плоскостью проекций V называется фронтальным следом этой плоскости и обозначается Р v .

Линия пересечения плоскости Р с профильной плоскостью проекций W называется профильным следом этой плоскости и обозначается P w .

Следы плоскости пересекаются на осях проекций. Точки пересечения следов плоскости с осями проекций называются точками схода следов. Эти точки обозначаются Р x , Р y и Р z .

Расположение следов плоскости Р на комплексном чертеже по отношению к осям проекций определяет положение самой плоскости по отношению к плоскостям проекций. Например, если плоскость Р имеет фронтальный и профильный следы P v и P w , параллельные осям Ох и Оу то такая плоскость параллельна плоскости Н и называется горизонтальной (рис. 101, и). Плоскость Р со следами Р н и P w , параллельными осям проекций Ох и Oz (рис. 101, называется фронтальной, а плоскость Р со следами P v и P н параллельными осям проекций Оу и Oz, - профильной (рис. 101, в).

Горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называются плоскостями уровня . Если на комплексном чертеже плоскость уровня задана не следами, а какой-нибудь плоской фигурой, например, треугольником или параллелограммом (рис. 101, г, д, е), то на одну из плоскостей проекций эта фигура проецируется без искажения, а на две другие плоскости проекций - в виде отрезков прямых.

ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ И ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Плоскость, перпендикулярная к плоскости Н (рис. 102, а),называется горизонтально-проецирующей плоскостью. Фронтальный след P v этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а горизонтальный след Р н расположен под углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, а)

Если горизонтально-проецирующая плоскость задана не следами, а какой-либо фигурой, например треугольником АВС (рис. 102, 6), то горизонтальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, а фронтальная и профильная проекции - искаженный вид треугольника АВС.

Фронтально-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций (рис. 102, в).

Горизонтальный след этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а фронтальный след расположен под некоторым углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, в).

При задании фронтально-проецирующей плоскости не следами, а, например, параллелограммом ABCD фронтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию (рис. 102, г), а на горизонтальную и профильную плоскости проекций параллелограмм проецируется с искажением.

Профильно-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к плоскости W (рис. 102, д). Следы P v и Р н этой плоскости параллельны оси Ох.

При задании профильно-проецирующей плоскости не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, е) профильная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию. Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, как было сказано, называются плоскостями уровня.

Если плоскость Р не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций (рис. 102, ж), то такая плоскость называется плоскостью общего положения . Все три

следа P v , Р н и P w плоскости Р наклонены к осям проекций.

Если плоскость общего положения задана не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, з), то этот треугольник проецируется на плоскости H, V и W в искаженном виде.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ПЛОСКОСТИ

Если прямая расположена на плоскости, то она должна проходить через две какие-либо точки, принадлежащие этой плоскости. Такие две точки могут быть взяты на следах плоскости - одна на горизонтальном, а другая на фронтальном. Так как следы прямой и плоскости находятся на плоскостях проекций и то следы прямой, принадлежащей плоскости, должны быть расположены на одноименных следах этой плоскости (рис. 103, а);например, горизонтальный след Н прямой - на горизонтальном следе плоскости, фронтальный след V прямой - на фронтальном следе Рv плоскости (рис. 103, б).

Для того чтобы на комплексном чертеже плоскости Р, заданной следами, провести какую-либо прямую общего положения, необходимо наметить на следах плоскости точки v" или считать их следами искомой прямой (точнее, v" - фронтальной проекцией горизонтального следа прямой).

Опустив перпендикуляры из v" и на ось проекций х, находим на ней вторые проекции следов прямой: v - горизонтальную проекцию фронтального следа прямой и h" - фронтальную проекцию горизонтального следа прямой. Соединив одноименные проекции следов, т. е. v"c h и v c h прямыми, получим две проекции прямой линии, расположенной в плоскости общего положения Р.

Очень часто требуется провести на плоскости горизонталь и фронталь, которые называются главными линиями плоскости или линиями уровня. Главные линии помогают решать многие задачи проекционного черчения.

Горизонталь и фронталь имеют в системе двух плоскостей V и Н только по одному следу (например, горизонталь имеет только фронтальный след). Поэтому, зная один след главной линии, проекцию главной линии проводят по заранее известному направлению. Это направление для горизонтали видно из рис. 104, а, где показана плоскость общего положения и горизонталь, лежащая на ней. Из рисунка видно, что горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

Таким образом, чтобы на комплексном чертеже плоскости Р провести в этой плоскости какую-либо горизонталь, нужно наметить на следе Р v плоскости точку v" (рис. 104, б) и считать ее фронтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Затем через точку v" параллельно оси х проводят прямую, которая будет фронтальной проекцией горизонтали.

Опустив перпендикуляр из точки v" на ось x , получают точку v, которая будет горизонтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Прямая, проведенная из точки v параллельно следу P H плоскости, представляет собой горизонтальную проекцию искомой горизонтали. Построение проекции фронтали показано на рис. 104, в и г.

11 с редко требуется провести горизонталь и фронталь на проецирующих плоскостях. Рассмотрим, например, построение горизонтали на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 105). На следе плоскости Р v намечаем фронтальную проекцию фронтального следа горизонтали и на оси находим его горизонтальную проекцию v (рис. 105, а). Затем через точку проводим параллельно Р н горизонтальную проекцию горизонтали; фронтальная проекция горизонтали совпадает с точкой v".

Если плоскость задана не следами, а пересекающимися или параллельными прямыми, то построение проекций горизонтали или фронтали, расположенных в этой плоскости, выполняется следующим образом.

Пусть плоскость задана двумя параллельными прямыми AВ и СD (рис. 105, 6). Для построения горизонтали, лежащей в этой плоскости, проводим параллельно оси х фронтальную проекцию горизонтали и отмечаем точки е"и f" пересечения фронтальной проекции горизонтали с фронтальными проекциями параллельных прямых, которыми задана плоскость. Через точки е"и f" проводим вертикальные линии связи до пересечения с ab и cd в точках е и f. Точки е и f соединяем прямой линией, которая и будет горизонтальной проекцией горизонтали.

Если требуется найти следы плоскости, заданной пересекающимися или параллельными прямыми, надо найти следы этих прямых и через полученные точки провести искомые следы плоскости.

Рассмотрим комплексный чертеж параллелограмма ABCD (рис. 106, a),который задает некоторую плоскость X. Отрезок DC расположен в плоскости H, следовательно, его горизонтальная проекция dc является горизонтальным следом плоскости (точнее - горизонтальной проекцией горизонтального следа плоскости).

Чтобы найти фронтальный след этой плоскости, необходимо продолжить горизонтальную проекцию dc прямой DC до пересечения с осью х в точке Р х, через которую должен пройти искомый фронтальный след плоскости.

Второй точкой v", через которую пройдет искомый фронтальный след плоскости, является фронтальный след прямой АВ (фронтальная проекция фронтального следа). Фронтальную проекцию фронтального следа прямой АВ находим, продолжая горизонтальную проекцию ab прямой АВ до пересечения с осью х в точке v, которая будет горизонтальной проекцией искомого фронтального следа прямой АВ. Фронтальная проекция фронтального следа этой прямой находится на перпендикуляре, восставленном из точки v к оси х, в точке v" его пересечения с продолжением фронтальной проекции а"в" прямой АB. Соединив точки P x с v", находим фронтальный след P v плоскости.

Пример решения подобной задачи приведен на рис 106, б.

Часто на комплексных чертежах приходится решать такую задачу: по одной из заданных проекций точки, расположенной на заданной плоскости, определить две другие проекции точки. Ход решения задачи следующий.

Через заданную проекцию точки, например фронтальную проекцию n" точки N, расположенной на плоскости треугольника АВС (рис. 107), проводим одноименную проекцию вспомогательной прямой любого направления, например m’к".

Горизонталью плоскости называется прямая, принадлежащая этой плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций Н.

Строим другую проекцию mк вспомогательной прямой. Для этого проводим вертикальные линии связи через точки m" и к" до пересечения с линиями ас и вс. Из точки n" проводим линию связи до пересечения с проекцией mк в искомой точке n.

Профильную проекцию n" находим по общим правилам проецирования.

В качестве вспомогательной прямой для упрощения построения чаще используются горизонталь или фронталь.

Чтобы найти какую-либо точку на плоскости Р, например точку А (рис. 108, а и б) надо найти ее проекции а"и а, которые располагаются на одноименных проекциях горизонтали, проходящей через эту точку. Через точку А проведена горизонталь Av" .

Проводим проекции горизонтали: фронтальную - через v" параллельно оси х, горизонтальную - через v параллельно следу Р н плоскости Р. На фронтальной проекции горизонтали намечаем фронтальную проекцию а" искомой точки и, проводя вертикальную линию связи, определяем горизонтальную проекцию а точки А.

Если точка лежит на проецирующей плоскости, то построение ее проекций упрощается. В этом случае одна из проекций точки всегда расположена на следу плоскости (точнее, на его проекции). Например, горизонтальная проекция а точки А, расположенной на горизонтально-проецирующей плоскости Р, находится на горизонтальной проекции горизонтального следа плоскости (рис. 108, в и г)

При заданной фронтальной проекции a" точки А, лежащей на горизонтально-проецирующей плоскости, найти вторую проекцию этой точки (горизонтальную) можно без вспомогательной прямой, посредством проведения линии связи через а" до пересечения со следом Р Н.

Если точка расположена на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 108, д и е), то ее фронтальная проекция а" находится на фронтальном следе Х v плоскости Р.

ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ ФИГУР

Зная построение проекций прямых и точек, расположенных на плоскости, можно построить проекции любой плоской фигуры, например, прямоугольника, треугольника, круга.

Как известно, каждая плоская фигура ограничена отрезками прямых или кривых линий, которые могут быть построены по точкам.

Проекции фигуры, ограниченной прямыми линиями (треугольника и многоугольника), строят по точкам (вершинам). Затем одноименные проекции вершин соединяют прямыми линиями и получают проекции фигур.

Проекции круга или другой криволинейной фигуры строят при помощи нескольких точек, которые берут равномерно по контуру фигуры. Одноименные проекции точек соединяют плавной кривой по лекалу.

Проекции плоской фигуры строят различными способами в зависимости от положения фигуры относительно плоскостей проекций и Наиболее просто построить проекции фигуры, расположенной параллельно плоскостям Н и V; сложнее - при расположении фигуры на проецирующей плоскости или на плоскости общего положения.

Рассмотрим несколько примеров.

Если треугольник АВС расположен на плоскости, параллельной плоскости H (рис. 109, a), то горизонтальная проекция этого треугольника будет его действительным видом, а фронтальная проекция - отрезком прямой, параллельным оси х. Комплексный чертеж треугольника АВС показан на рис. 109, 6. Такой треугольник можно видеть на изображении резьбового резца (рис. 109, в),передняя грань которого треугольная.

Трапеция ABCD расположена на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 110, а). Фронтальная проекция трапеции представляет собой отрезок прямой линии, а горизонтальная - трапецию (рис. 110, б)

Задняя грань отрезного резца (рис. 110, в) имеет форму трапеции.

Рассматривая плоскость, параллельную горизонтальной, фронтальной или профильной плоскости проекций (плоскость уровня), можно заметить, что любая фигура, лежащая в этой плоскости, имеет одну из проекций, представляющую собой действительный вид этой фигуры; вторая и третья проекции фигуры совпадают со следами этой плоскости.

Рассматривая проецирующую плоскость, заметим, что любая точка, отрезок прямой или кривой линии, а также фигуры, расположенные на проецирующей плоскости, имеют одну проекцию, расположенную на следе этой плоскости. Например, если круг лежит на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 111), то фронтальная проекция круга совпадает с фронтальным следом Pv плоскости Р. Две другие проекции круга искажены и представляют собой эллипсы. Большие оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 37. Малые оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 15, перпендикулярного диаметру 37.

На рис. 111,6 показано колено трубы с двумя фланцами. Горизонтальная проекция контура нижнего фланца, который расположен в горизонтальной плоскости, будет действительным видом окружности. Горизонтальная проекция контура верхнего фланца изобразится в виде эллипса.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости могут быть взаимно параллельными или пересекающимися.

Из стереометрии известно, что если две параллельные плоскости пересекают какую-либо третью плоскость, то линии пересечения этих плоскостей параллельны между собой. Исходя из этого положения, можно сделать вывод, что одноименные следы двух параллельных плоскостей Р и Q также параллельны между собой.

Если даны две профильно-проецирующие плоскости Р и К (рис. 112, а), то параллельность их фронтальных и горизонтальных следов на комплексном чертеже в системе V и Н недостаточна для того, чтобы определить, параллельны эти плоскости или нет. Для этого необходимо построить их профильные следы в системе V, Н и W (рис. 112, б). Плоскости Р и K будут параллельны только в том случае, если параллельны их профильные следы P w и K w .

Одноименные следы пересекающихся плоскостей Р и Q (рис. 112, в) пересекаются в точках V и H, которые принадлежат обеим плоскостям, т. е. линии их пересечения. Так как эти точки расположены на плоскостях проекций, то, следовательно, они являются также следами линии пересечения плоскостей. Чтобы на комплексном чертеже построить проекции линии пересечения двух плоскостей Р и Q, заданных следами P v , Р н и Q v ,Q h , необходимо отметить точки пересечения одноименных следов плоскостей, т. е. точки v" и h (рис. 112, г); точка v" - фронтальная проекция фронтального следа искомой линии пересечения плоскостей Р и Q, h - горизонтальная проекция горизонтального следа этой же прямой. Опуская перпендикуляры из точек v" и h на ось х, находим точки v и h". Соединив прямыми одноименные проекции следов, т. е. точки v" и h", v и h" получим проекции линии пересечения плоскостей Р и Q.

ПРЯМАЯ, ПРИНАДЛЕЖАЩАЯ ПЛОСКОСТИ

Для этого фронтальную проекцию отрезка m"n" продолжаем до пересечения с отрезками a"b" и c"d" (проекциями сторон треугольника АВС), получаем точки (рис. 113, б).

Из точек е"к" проводим линии связи на горизонтальную проекцию до пересечения с отрезками ab и ca , получаем точки еk. Продолжим горизонтальную проекцию mn отрезка прямой MN до пересечения с проекциями сторон bа и са, если точки пересечения совпадут с ранее полученными точками e и k то прямая MN принадлежит плоскости треугольника.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

Если прямая АВ пересекается с плоскостью Р, то на комплексном чертеже точка их пересечения определяется следующим образом.

Через прямую А В проводят любую вспомогательную плоскость Q. Для упрощения построений плоскость Q обычно берется проецирующей (рис. 114, a). В данном случае проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Q. Через горизонтальную проекцию аb прямой АВ проводят горизонтальный след Q H плоскости Q и продолжают его до пересечения с осью x в точке Q x . Из точки Q x к оси х восставляют перпендикуляр Q x Q y , который будет фронтальным следом Q v вспомогательной плоскости Q.

Вспомогательная плоскость Q пересекает данную плоскость Р по прямой VH, следы которой лежат на пересечении следов плоскостей Р и Q. Заметив точки пересечения следов P v и Q v - точку v" и следов Q н и P H - точку h,опускают из этих точек на ось х перпендикуляры, основания которых - точки v" и h" - будут вторыми проекциями следов прямой VH. Соединяя точки v"и h", v и h, получают фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения плоскостей.

Точка пересечения М заданной прямой AB и найденной прямой VH и будет искомой точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Фронтальная проекция m" этой точки расположена на пересечении проекций a"b" и v"h". Горизонтальную проекцию m точки М находят, проводя вертикальную линию связи из точки m" до пересечения с ab.

Если плоскость задана не следами, а плоской фигурой, например, треугольником (рис. 114, 6), то точку пересечения прямой MN с плоскостью треугольника АВС находят следующим образом.

Через прямую МN проводят вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость. Для этого через точки m" и n" проводят фронтальный след плоскости Р у продолжают его до оси x и из точки пересечения следа плоскости Р у с осью х опускают перпендикуляр Р н, который будет горизонтальным следом плоскости Р.

Затем находят линию ED пересечения плоскости Р с плоскостью данного треугольника ABC. Фронтальная проекция e"d" линии ED совпадает с m"n". Горизонтальную проекцию ed находят, проводя вертикальные линии связи из точек е"и d" до встречи с проекциями ab и ас сторон треугольника АВС. Точки e и d соединяют прямой. На пересечении горизонтальной проекции ed линии ED с горизонтальной проекцией прямой MN находят горизонтальную проекцию k искомой точки К. Проведя из точки k вертикальную линяю связи, на ходят фронтальную проекцию k" Точка К - искомая точка пересечения прямой МК с плоскостью треугольника АВС.

В частном случае прямая может быть перпендикулярна плоскости Р.Из условия перпендикулярности прямой к плоскости следует, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим на этой плоскости (в частности, этими прямыми могут быть следы плоскости). Тогда проекции прямой АВ будут перпендикулярны одноименным следам этой плоскости (рис 115, а) Фронтальная проекция а"b" перпендикулярна фронтальному следу Р у, а горизонтальная проекция ab перпендикулярна горизонтальному следу Р н плоскости Р.

Если плоскость задана параллельными или пересекающимися прямыми, то проекции прямой, перпендикулярной этой плоскости, будут перпендикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали, лежащих на плоскости.

Таким образом, если, например, на плоскость, заданную треугольником АВС необходимо опустить перпендикуляр, то построение выполняется следующим образом (рис. 115, б).

На плоскости проводят горизонталь СЕ и фронталь FA. Затем из заданных проекций d и d" точки D опускают перпендикуляры соответственно на ce и f"a". Прямая, проведенная из точки D будет перпендикулярна плоскости треугольника АВС.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Задачи на построение линии пересечения плоскостей, заданных пересекающимися прямыми, можно решать подобно задаче на пересечение плоскости с прямыми линиями. На рис. 116 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками АВС и DEF. Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DE и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника АВС.

Например, чтобы найти точку M, через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плоскость Р, которая пересекается с плоскостью треугольника АВС по прямой 12. Через полученные точки 1" и 2" проводят вертикальные линии связи до пересечения их с горизонтальными проекциями ав и ас сторон треугольника АВС в точках 1 и 2. На пересечении горизонтальных проекций df и 12 получают горизонтальную проекцию m искомой точки М, которая будет точкой пересечения прямой DF с плоскостью АВС. Затем находят фронтальную проекцию m" точки M. Точку N пересечения прямой EF с плоскостью АВС находят так же, как и точку М.

Соединив попарно точки m" и n", m и n, получают проекции линий пересечения MN плоскостей АВС и DEF.

План

1. Проекции плоскостей общего положения

2. Проекции плоскостей уровня

Горизонтальная плоскость

Фронтальная плоскость

Профильная плоскость

3. Проекции проецирующих плоскостей

Горизонтально-проецирующая плоскость

Фронтально-проецирующая плоскость

Профильно-проецирующая плоскость

4. Взаимное расположение двух плоскостей

Параллельные плоскости

Пересекающиеся плоскости

5. Пересечение плоскостей общего положения

6. Взаиморасположение прямой и плоскости

Прямая - в плоскости

Прямая, параллельная плоскости

Прямая пересекает плоскость

7. Пересечение прямой с плоскостью

8. Условие видимости на чертеже

1. Проекции плоскостей общего положения

На комплексном чертеже плоскость может быть задана изображениями тех геометрических элементов, которые вполне определяют положение плоскости в пространстве. Это:

1) три точки, не лежащие на одной прямой (рис. 30);

3) две параллельные прямые (рис. 27);

4) две пересекающиеся прямые (рис. 28).

При решении некоторых задач целесообразно задавать на комплексном чертеже плоскость ее следами (рис. 31).

Рис. 30	Рис. 31

СЛЕДОМ ПЛОСКОСТИ называется прямая, по которой данная плоскость пересекается с плоскостью проекций.

На рис. 31 изображена плоскость  и ее следы: с - горизонтальный; а - фронтальный; b - профильный. Следы плоскости сливаются с одноименными своими проекциями: след с = с"; след а = а""; след b = b""". Точки

2. Проекции плоскостей уровня

Плоскостями уровня называются плоскости, параллельные плоскостям проекций.

Характерная особенность этих плоскостей состоит в том, что элементы, расположенные в этих плоскостях, проецируются на соответствующую плоскость проекций в натуральную величину.

Горизонтальная плоскость

Горизонтальная плоскость (рис. 32) параллельна горизонтальной плоскости проекций.

На рис. 32 изображена горизонтальная плоскость  ( V).

Фронтальная плоскость

Фронтальная плоскость (рис. 33) параллельна фронтальной плоскости проекций.

На двухкартинном комплексном чертеже она изображается одним фронтальным следом, параллельным оси x.

На рис. 33 изображена фронтальная плоскость  ( ).

Профильная плоскость

Профильная плоскость (рис. 34) параллельна профильной плоскости проекций.

На двухкартинном комплексном чертеже она изображается двумя следами: горизонтальным и фронтальным, перпендикулярными оси x.

На рис. 34 изображена профильная плоскость  ( H,V).

Рис. 34

3. Проекции проецирующих плоскостей

ПРОЕЦИРУЮЩИМИ называются плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекций.

Характерной особенностью таких плоскостей является их собирательное свойство. Оно заключается в следующем: соответствующий след - проекция плоскости - собирает одноименные проекции всех элементов, расположенных в данной плоскости.

Горизонтально-проецирующая плоскость

Горизонтально-проецирующая плоскость (рис. 33) перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций H.

Рис. 35	Рис. 36

Горизонтальные проекции всех точек, принадлежащих горизонтально-проецирующей плоскости , располагаются на горизонтальном следе - проекции  H этой плоскости (рис. 35).

Фронтально-проецирующая плоскость

Фронтально-проецирующая плоскость (рис. 36) перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций V.

Фронтальные проекции всех точек, принадлежащих фронтально-проецирующей плоскости , располагаются на фронтальном следе - проекции   этой плоскости (рис. 36).

Профильно-проецирующая плоскость

Профильно-проецирующая плоскость (рис. 37) перпендикулярна к профильной плоскости проекций W.

Рис. 37

Профильные проекции всех точек, принадлежащих профильно-проецирующей плоскости , располагаются на профильном следе -проекции этой  W плоскости (рис. 37).