Подобие во множестве геометрических фигур. Свойства подобных фигур

Геометрия

Подобие фигур

Свойства подобных фигур

Теорема. Когда фигура подобна фигуре , а фигура - фигуре , то фигуры и подобные.
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. Например, в подобных треугольниках ABC и :
; ; ;
.

Признаки подобия треугольников

Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам второго треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Теорема 3. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны.
Из этих теорем вытекают факты, которые являются полезными для решения задач.
1. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному.
На рисунке .

2. У подобных треугольников соответствующие элементы (высоты, медианы, биссектрисы и т.д.) относятся как соответствующие стороны.
3. У подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.
4. Если О - точка пересечения диагоналей трапеции ABCD , то .
На рисунке в трапеции ABCD: .

5. Если продолжение бічих сторон трапеции ABCD пересекаются в точке K , то (см. рисунок).
.

Подобие прямоугольных треугольников

Теорема 1. Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то они подобны.
Теорема 2. Если два катеты одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам второго прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.
Теорема 3. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе второго прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема 4. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разбивает треугольник на два прямоугольных треугольника, подобные данному.
На рисунке .

Из подобия прямоугольных треугольников вытекает такое.
1. Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:
; ,
или
; .
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:
, или .
3. Свойство биссектрисы треугольника:
биссектриса треугольника (произвольного) делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
На рисунке в BP - биссектриса .
, или .

Сходство равносторонних и равнобедренных треугольников

1. Все равносторонние треугольники подобные.
2. Если равнобедренные треугольники имеют равные углы между боковыми сторонами, то они подобны.
3. Если равнобедренные треугольники имеют пропорциональные основание и боковую сторону, то они подобны.

РЕФЕРАТ

На тему: «Подобие фигур»

Выполнила:

ученица

Проверила:

1. Преобразование подобия

2. Свойства преобразования подобия

3. Подобие фигур

4. Признак подобия треугольников по двум углам

5. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

6. Признак подобия треугольников по трем сторонам

7. Подобие прямоугольных треугольников

8. Углы, вписанные в окружность

9. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

10. Задачи на тему «Подобие фигур»

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ

Преобразование фигуры Fв фигуру F"называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1). Это значит, что если произвольные точки X, Yфигуры Fпри преобразовании подобия переходят в точки X", Y"фигуры F",то X"Y" = k-XY, причем число k- одно и то же для всех точек X, Y. Число kназывается коэффициентом подобия. При k = lпреобразование подобия, очевидно, является движением.

Пусть F - данная фигура и О - фиксированная точка (рис. 2). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ", равный k·OX, где k - положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X", построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F" называются гомотетичными.

Теорема 1.Гомотетия есть преобразование подобия

Доказательство. Пусть О - центр гомотетии, k - коэффициент гомотетии, X и Y- две произвольные точки фигуры (рис.3)

Рис.3 Рис.4

Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.

Задача. На рисунке 4 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).

Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны - 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.

2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ

Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А 1 , В 1 , С 1 , также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В 1 лежит между точками А 1 и С 1 . Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Действительно, пусть угол ABC преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А 1 В 1 С 1 (рис. 5). Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А 2 и С 2 . Треугольники А 2 ВС 2 и А 1 В 1 С 1 равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А 2 ВС 2 и А 1 В 1 С 1 . Значит, углы ABC и А 1 В 1 С 1 равны, что и требовалось доказать.

3. ПОДОБИЕ ФИГУР

Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: ∞. Запись F∞F" читается так: «Фигура F подобна фигуре F"».

Докажем, что если фигура F 1 подобна фигуре F 2 , а фигура F 2 подобна фигуре F 3 , то фигуры F 1 и F 3 подобны.

Пусть Х 1 и Y 1 - две произвольные точки фигуры F 1 . Преобразование подобия, переводящее фигуру F 1 в F 2 , переводит эти точки в точки Х 2 , Y 2 , для которых X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1 .

Преобразование подобия, переводящее фигуру F 2 в F 3 , переводит точки Х 2 , Y 2 в точки Х 3 , Y 3 , для которых X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2 .

Из равенств

X 2 Y 2= kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2

следует, что X 3 Y 3 - k 1 k 2 X 1 Y 1 . А это значит, что преобразование фигуры F 1 в F 3 , получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Следовательно, фигуры F 1 и F 3 подобны, что и требовалось доказать.

В записи подобия треугольников: ΔABC∞ΔA 1 B 1 C 1 - предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит в А 1 , В - в B 1 и С - в С 1 .

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников ABC и А 1 В 1 С 1

4. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ УГЛАМ

Теорема 2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A 1 B 1 C 1

На тему: «Подобие фигур»

Выполнила:

Проверила:

1. Преобразование подобия

2. Свойства преобразования подобия

3. Подобие фигур

4. Признак подобия треугольников по двум углам

5. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

6. Признак подобия треугольников по трем сторонам

7. Подобие прямоугольных треугольников

8. Углы, вписанные в окружность

9. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

10. Задачи на тему «Подобие фигур»

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ

Преобразование фигуры F в фигуру F" называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X", Y" фигуры F", то X"Y" = k-XY, причем число k - одно и то же для всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия. При k = l преобразование подобия, очевидно, является движением.

Пусть F - данная фигура и О - фиксированная точка (рис. 2). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ", равный k·OX, где k - положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X", построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F" называются гомотетичными.

Теорема 1. Гомотетия есть преобразование подобия

Доказательство. Пусть О - центр гомотетии, k - коэффициент гомотетии, X и Y - две произвольные точки фигуры (рис.3)

Рис.3 Рис.4

При гомотетии точки X и Y переходят в точки X" и Y" на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX" = k·OX, OY" = k·OY. Отсюда следуют векторные равенства ОХ" = kOX, OY" = kOY.

Вычитая эти равенства почленно, получим: OY"-OX" = k (OY- OX).

Так как OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, то Х" Y" = kХY. Значит, /X"Y"/=k /XY/, т.e. X"Y" = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.

Задача. На рисунке 4 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).

Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны - 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.

2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ

Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А 1 , В 1 , С 1 , также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В 1 лежит между точками А 1 и С 1 . Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Действительно, пусть угол ABC преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А 1 В 1 С 1 (рис. 5). Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А 2 и С 2 . Треугольники А 2 ВС 2 и А 1 В 1 С 1 равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А 2 ВС 2 и А 1 В 1 С 1 . Значит, углы ABC и А 1 В 1 С 1 равны, что и требовалось доказать.

Медианы треугольников; 4. , где BH и B1H1 высоты треугольников. §5. Опытная работа Цель опытной работы: выявление методических особенностей изучения темы «Подобные треугольники» в средней школе. Идея: для выявления методических особенностей необходимо провести несколько уроков по разработанной методики, в конце обучения провести контрольную работу, при анализе которой можно судить о...

Позитивизма. Для позитивистов верным и испытанным является только то, что получено с по­мощью количественных методов. Признают наукой лишь математику и естествознание, а обществознание от­носят к области мифологии. Неопозитивизм, Слабость педагогики нео­позитивисты усматривают в том, что в ней доминируют беспо­лезные идеи и абстракции, а не реальные факты. Яркий...

Примеры

• Каждая гомотетия является подобием.
• Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом k = 1 .

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета.

Связанные определения

Свойства

В метрических пространствах так же, как в n -мерных римановых , псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет r -членную группу преобразований Ли , называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов r -членная группа подобных преобразований Ли содержит (r − 1) -членную нормальную подгруппу движений.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Подобные фигуры" в других словарях:

ПОДОБНЫЕ ФИГУРЫ - фигуры, у которых соответственные линейные элементы пропорциональны, а углы между ними равны, т. е. при одинаковой форме имеют разные размеры … Большая политехническая энциклопедия

Две гомологические фигуры называются Г., если расстояния соответствующих точек до центра пропорциональны. Отсюда видно, что Г. фигуры суть фигуры подобные и подобно расположенные, или же подобные и обратно расположенные. Центр гомологии в этом… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 Формулировки 2 Доказательства … Википедия

Щит Тинктуры Щитодержатель Щитодержатель (девиз) … Википедия

Известная Шила на гиг из церкви в Килпеке, Англия Шила на гиг (англ. Sheela na Gig) скульптурные изображения обнажённых женщин, обычно с увеличенной в … Википедия

- … Википедия

Во второй раз собирался я ехать в страну черных, не обращая внимания на то, что ее адский климат едва не уморил меня в первую поездку. Я предпринимал это путешествие с весьма смешанными чувствами и никак не мог отделаться от различных,… … Жизнь животных

Общее имя с относительно ясным содержанием и сравнительно четко очерченным объемом. П. являются, напр., «химический элемент», «закон», «сила тяготения», «астрономия», «поэзия» и т.п. Отчетливой границы между теми именами, которые можно назвать П … Философская энциклопедия

Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С … Википедия

Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Книги

• Пророки и чудотворцы. Этюды о мистицизме , В. Е. Рожнов. Москва, 1977 год. Политиздат. Владельческий переплет. Сохранность хорошая. Спиритизм и астрология, теософия и оккультизм - эти слова постоянно можно встретить на страницах журналов и газет…
• Счет, форма, величина. Для занятий с детьми от 4 до 5 лет. Книжка с игрой и наклейками , Дорофеева А.. Альбом «Счет. Форма. Величина» из серии Школа семи гномов, пятый год обучения, представляет собой развивающее пособие, где каждое занятие проводится в игровой формеи продолжает давать детям в…