Теория динамических систем. Динамические законы и теории
Вероятность – отношение числа возможных случаев, благоприятствующих данному событию, к числу всех возможных.
Случайность
– событие, которое может с определенной долей вероятности произойти, или не произойти.
Статистическая закономерность
– законы средних величин, действующие в области массовых явлений, либо при взаимодействии очень большого количества тел.
Среднее значение
- числовая характеристика множества чисел или функций; - некоторое число, заключенное между наименьшим и наибольшим из их значений
.
Молекулярно-кинетическая теория
– теория, основанная на представлении, что все тела состоят из атомов и молекул, находящихся в непрерывном движении и взаимодействии друг с другом.
Распределение (Максвелла) молекул по скоростям :
здесь - вероятность обнаружения молекулы в бесконечно малом прямоугольном параллелепипеде в пространстве скоростей, изображенном на рис. 2.3. Другими словами, это вероятность того, что молекула имеет проекцию скорости на ось х в интервале от v х до v х + dv х и в подобных же интервалах для значений v y и v z .
В распределении (2.12) А - константа, выражение для которой можно найти из условия нормировки:
Распределение (2.12а) принято называть распределением Максвелла по компонентам скоростей.
Статистическое описание состояния
- основывается на применении законов теории вероятностей
, а в качестве основной применяемой функции выступает функция распределения
. При этом не требуется знания характера соударения микрочастиц, их начальных условий движения и точного решения уравнений динамики всех микрочастиц. В этом случае обычно ограничиваются нахождением функции распределения одной микрочастицы и считают, что функции распределения всех микрочастиц идентичны. Все наблюдаемые параметры макросистемы
определяются путем нахождения средних значений динамических переменных микрочастиц.
Флуктуация -
случайные отклонения от среднего значения физических величин, характеризующих систему из большого числа частиц; вызываются тепловым движением частиц или квантово механическими эффектами. Примером термодинамических флуктуаций являются флуктуации плотности вещества в окрестностях критических точек, приводящих, в частности, к сильному рассеянию света веществом и потери прозрачности.
Флуктуации, вызванные квантовомеханическими эффектами присутствуют даже при температуре абсолютного нуля. Они принципиально неустранимы.
Квантово механическое состояние
- определяется значением энергии системы; минимальное значение энергии называется основное состояние.
Волновая функция
– функция состояния системы, являющаяся решением уравнения Шредингера; физического смысла не имеет.
Статистический характер квантового описания природы
- в классической механике заданием состояния, в котором находится данная система, однозначно определяются значения всех связанных с нею механических величин, ибо всякая такая величина представляется как функция гамильтоновых переменных, задание значений которых и равносильно заданию состояния системы. В квантовой механике заданием состояния системы механические величины определяются лишь как случайные величины; задание состояния системы определяет собою не значения, а законы распределения связанных с нею механических величин. Эта принципиально статистическая черта квантовой механики.
Динамическая теория
– теория изучения сложных динамических систем, которые проявляют признаки хаотического поведения.
Статистическая теория -
предсказывает только вероятности разных результатов измерений и ничего не знает о том, как все происходило на самом деле.
Фундаментальная теория
- в современной физике имеют дело не с разрозненной совокупностью множества не связанных или почти не связанных друг с другом законов, а с немногим числом фундаментальных законов или фундаментальных физических теорий, охватывающих огромные области явлений. В этих теориях в наиболее полной и общей форме отражаются объективные процессы в природе.
Примеры фундаментальных динамических теорий:
механика, электродинамика, термодинамика, теория относительности, эволюционная теория Ламарка, теория химического строения, молекулярно-кинетическая теория, квантовая механика и другие
квантовые теории, эволюционная теория Дарвина, молекулярная генетика.
Принцип соответствия: статистические и динамические теории
– каждая более глубокая теория содержит, при некотором предельном переходе, ранее ей предшествующую, не столь глубокую (например, теория относительности Эйнштейна при малых скоростях переходит в классическую механику Ньютона).
Динамические теории как приближение и упрощение более точных статистических теорий
- динамические законы
отображают объективные закономерности в форме однозначной количественной связи физических величин, характеризующих причины, условия и следствия.Статистические закономерности обеспечивают более общее описание природы, диалектично отражая роль необходимого и случайного в природе, поэтому динамические законы можно рассматривать как упрощение, первое приближение к анализу различных процессов.
Тема 4.03. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношения
неопределенностей
Волновые свойства света:
Интерференция – явление наложения в пространстве однонаправленных когерентных волн, при котором в одних точках пространства волны гасят друг друга, в других – усиливают;
Дифракция – свойство волн огибать препятствия (заходить в область геометрической тени);
Поляризация -
выделение некоторого преимущественного направления колебаний в бегущей волне. Такая волна называется поляризованной. Если это световая волна, то при поляризации вектор напряженности электрического поля Е
в ней колеблется по определенному закону. Если он колеблется вдоль плоскости проходящей через луч, то такая волна называется плоско или линейно поляризованной
.
Корпускулярные свойства света:
Фотоэффект –
явление выбивания электронов с поверхности металла при падении на эту поверхность света (внешний фотоэффект). Различают еще и внутренний фотоэффект – это повышение электропроводности полупроводников при падении на них света.
Корпускулярно-волновой дуализм как всеобщее свойство материи -
для атомного объекта существует потенциальная возможность проявлять себя, в зависимости от внешних условий, либо как волна, либо как частица, либо промежуточным образом. Именно в этой потенциальной возможности различных проявлений свойств, присущих микрообъекту, и состоит дуализм волна - частица.Корпускулярно-волновой дуализм в современной физике стал всеобщим. Любой материальный объект характеризуется наличием как корпускулярных, так и волновых свойств.
Де Бройль: общая идея и формула связи между импульсом частицы и ее
длиной волны -
де Бройль утверждал, что волновые свойства, наряду с корпускулярными, присущи всем видам материи: электронам, протонам, атомам, молекулам и даже макроскопическим тела, и предложил формулу для длины волны тела массы m: λ = h/mv, где h – постоянная Планка, m – масса тела, v – скорость тела.
Волновые свойства частиц. Дифракция электронов. Электронный микроскоп: Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связаны, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия E и импульс p, а с другой стороны, волновые характеристики – частота ν и длина волны λ.
Корпускулярные и волновые характеристики микрообъектов связаны такими же количественными соотношениями, как и у фотона:
английский физик Дж. Томсон (сын Дж. Томсона, открывшего за 30 лет до этого электрон) получил новое подтверждение гипотезы де Бройля. В своих экспериментах Томсон наблюдал дифракционную картину, возникающую при прохождении пучка электронов через тонкую поликристаллическую фольгу из золота. При взаимодействии электронов с такими структурами возникает рассеяние электронов в преимущественных направлениях в соответствии с предсказываемыми теорией соотношениями. Регистрируя рассеянные электроны (например, фотографируя их), можно получать информацию об атомной структуре вещества. Это явление используется в электронных микроскопах.
Мысленный эксперимент - «микроскоп Гейзенберга»
- с точки зрения Гейзенберга, чем больше будет уточнено определение положения, тем хуже будет определено состояние движения. Обратно, чем лучше определено состояние движения частицы, тем ближе будет сопряженная волна к плоской монохроматической волне с постоянной амплитудой. Следовательно, чем точнее будет определено состояние движения, тем с меньшей уверенностью может оценить положение частицы.
Соотношение неопределенностей координата-импульс (скорость)
– чем точнее определен импульс частицы, тем большая неопределенность в ее координате и наоборот.
Соотношение неопределенностей энергия-время
– чем точнее необходимо измерить энергию частицы, тем больший промежуток времени на это потребуется и наоборот, чем меньше времени затрачено на измерение, тем большая неопределенность в определении энергии частицы.
Соотношения неопределенностей как следствие невозможности
невозмущающих измерений -
длительность измерения Т не должна, очевидно, превышать время жизни Δt микрообъекта на данном уровне: Т < Δt.
Соотношения неопределенностей как результат квантовых флуктуаций
- флуктуации, вызванные квантовомеханическими эффектами присутствуют даже при температуре абсолютного нуля. Они принципиально неустранимы. Непосредственно наблюдаемы квантовомеханические флуктуации для заряда, прошедшего через квантовый точечный контакт - квантовый дробовой шум.
Экспериментальные доказательства сложной структуры вакуума: эффект
Казимира, рождение электрон-позитронных пар в электрическом поле -
Что произойдет если Вы возьмете два зеркала и установите их зеркальными сторонами друг к другу в пустом пространстве? Зеркала притягиваются друг к другу из-за того, что между ними находится вакуум. Это явление было впервые предсказано немецким физиком-теоретиком Генрихом Казимиром в 1948 году, когда он работал в исследовательском центре Philips Research Laboratories в Эйндховене (Eindhoven) над коллоидными растворами. Это явление получило название эффекта Казимира, а сила, возникающая между зеркалами - сила Казимира. Законом сохранения импульса запрещено рождение в вакууме реальной электрон-позитронной пары (или пары любых других массивных частиц) одним фотоном, поскольку единичный фотон в любой системе отсчёта несёт конечный импульс, а электрон-позитронная пара в своей системе центра масс обладает нулевым импульсом. Однако виртуальные
пары любых частиц могут появляться и в таком процессе; в частности, именно рождение виртуальных пар в вакууме обуславливает такие эффекты, как поляризация вакуума, лэмбовский сдвиг уровней или излучение Хокина. В ускоренной системе отсчёта виртуальная пара может обратиться в реальную.
Тема 4.04. Принцип дополнительности
Корпускулярно-волновой дуализм –
наличие корпукулярных свойств у физических полей и волновых свойств у элементарных частиц.
Принцип дополнительности в квантовой механике – при измерении могут быть установлены, с точностью, допускаемой принципом (соотношением неопределенности Гейзенберга), либо энергия и импульс микрообъекта, либо его пространственные координаты и время (пространственно – временное поведение системы).
Измерение в квантовой механике как результат взаимодействия микрообъекта с макроприбором - невозможность установления твердых границ между объектом и прибором лишает смысла классическое представление об абсолютно фиксированном различии между прибором и объектом.
Невозможность невозмущающих измерений -
Квантовый микрообъект проявляется при взаимодействии с классическим прибором. Результат такого взаимодействия - экспериментальные данные, которые объясняются на основе тех или иных теоретических предпосылок и на базе которых, в свою очередь, делаются косвенные заключения о свойствах объекта, уже предсказанных теорией. И так как свойства микрообъекта обнаруживаются через взаимодействие его с классическим прибором, то их проявление обусловливается устройством прибора и создаваемыми внешними условиями
Неотделимость наблюдателя от наблюдаемого объекта -
наблюдатель получает информацию не только о физическом объекте как таковом, но одновременно и о влиянии наблюдательного средства на этот объект в процессе измерения.
Возможные значения физических величин: дискретный и непрерывный спектр - в квантовой механике подавляющее число физических величин могут иметь неопpеделенное численное значение. Пеpвое, что необходимо установить, это спектpвозможных значений неопpеделенной величины (он иногда может быть непpеpывным , иногда - дискpетным ). Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между ее возможными значениями и вероятностями их появления. Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически (в виде многоугольника распределения). Способ описания распределения случайной величины в виде таблицы, в виде формулы или графически применим только для дискретных случайных величин
Физические величины, имеющие и не имеющие определенное значение в данном состоянии
-
в квантовой механике разделяют уровень наблюдаемых фактов (результатов измерений и реальных экспериментов) и уровень мысленных экспериментов, которые хотя и не выдают численные значения физических величин, но позволяют понять, что происходит на "самом деле".Для каждого из уровней используются соответствующие физические величины.
Принцип дополнительности в широком смысле как необходимость несовместимых, но взаимодополняющих точек зрения для полного понимания предмета или процесса
Вхождение субъекта в квантовую реальность приводит к распаду физической картины микромира на взаимоисключающие, волновые и корпускулярные стороны. Так как эти описания относятся к одной реальности и реализуют различные свойства одного и того же объекта, то необходимо введение принципа дополнительности, чтобы рассматривать несовместимые стороны как дополняющие друг друга в описании одного и того же бытия.
Тема 4.05. Принцип возрастания энтропии
Формы энергии: тепловая, химическая, механическая, электрическая.
Энергия – наиболее общая единая мера всех форм движения и взаимодействия материи. Химическая энергия – энергия, выделяющаяся или поглощающаяся в химических реакциях в результате восстановления или разрушения химических связей между атомами и молекулами. Тепловая энергия – энергия хаотического (поступательного, вращательного, колебательного) движения молекул. Механическая энергия – сумма кинетической и потенциальной энергий тела или системы тел. Электрическая энергия – энергия, заключенная в электрическом и магнитном полях, эта энергия переносится в пространстве магнитными волнами.
Первый закон термодинамики - закон сохранения энергии при ее превращениях, или первое начало термодинамики: количество теплоты, сообщенное системераспределяется на увеличение внутренней энергии системы и на совершение работы силами, приложенными со стороны системы к внешним телам.
Замкнутая (изолированная) система и незамкнутая (открытая) система
- система, не обменивающаяся с окружающей средой энергией, материей, импульсом, моментом импульса и информацией.
Термодинамическое равновесие.
Система в состоянии равновесия характеризуется тем, что в ней не происходит никаких термодинамических процессов, отдельные макроскопические части системы покоятся друг относительно друга, а макроскопические параметры системы (температура, давление) одинаковы для всех частей системы. Достигнув этого состояния, система не может без внешнего воздействия выйти из него.
Второй закон термодинамики как принцип возрастания энтропии в замкнутых системах. В формулировке немецкого физика Клаузиуса (1822 – 1888 г.г.) энтропия замкнутой (изолированной) системы возрастает и достигает максимума в состоянии термодинамического равновесия.
Энтропия как физический индикатор направления времени. Энтропия есть функция состояния системы. Любая изолированная система изменяется в направлении «забывания» начальных условий и перехода в макроскопическое состояние, характеризующимся большими хаосом и симметрией, что соответствует возрастанию энтропии. Таким образом, возрастание энтропии есть некая «стрела времени»: для изолированной системы будущее всегда расположено в направлении возрастания энтропии.
Обратимые и необратимые процессы. Обратимым называется процесс, который может идти как в прямом, так и в обратном направлениях, причем по возвращении системы в исходное состояние не происходит никаких изменений. Любой другой процесс – необратимый. В механистической картине мира рассматриваются только обратимые процессы. Реальные самопроизвольные процессы всегда необратимы.
Энтропия как измеряемая физическая величина (приведенная теплота). Энтропия как функция состояния системы может быть рассчитана как интеграл т своего бесконечно малого приращения, определяемого отношением бесконечно малого количества тепла, полученного или отданного системой при данной температуре к этой температуре (приведенная теплота).
Изменение энтропии тел при теплообмене между ними. Второй закон термодинамики как принцип направленности теплообмена (от горячего к холодному). Согласно Клаузиусу невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому: это означает, что возможны самопроизвольные процессы, протекающие только в одном направлении – передача тепла от более горячих тел к менее горячим, что сопровождается возрастанием энтропии.
Качество (ценность) энергии. Высококачественные формы энергии: механическая, электрическая. Низкокачественная форма энергии: теплота. Качество (ценность энергии) определяется возможностью превращения ее в механическую работу. Так, например, при падении на землю тела, обладавшего кинетической и потенциальной, т.е. механической энергией, выделится тепло, которое не может превратиться вновь в механическую энергию, поэтому тепло рассматривается как энергия более низкого качества, чем энергия механическая, химическая или электрическая.
Понижение качества тепловой энергии с понижением температуры. Поскольку самопроизвольно энергия передается только от тела более нагретого (нагревателя) к менее нагретому (холодильнику), возможность совершения механической работы в этом процессе тем больше, чем выше температура нагревателя по отношению к температуре холодильника, в связи с чем качество тепловой энергии более горячего нагревателя выше, чем у менее горячего.
Энтропия как мера некачественности энергии. Всякое упорядоченное движение и связанная с ним энергия более качественна, чем неупорядоченная энергия, например, энергия теплового хаотического движения молекул. Поскольку энтропия есть мера хаоса, т.е. беспорядка в системе, а ее увеличение соответствует росту этого беспорядка, можно сказать, что энтропия есть мера некачественности энергии.
Второй закон термодинамики как принцип неизбежного понижения качества энергии. Увеличение беспорядка, т.е. возрастание энтропии в изолированных системах, неизбежное в соответствии со вторым началом термодинамики, есть принцип неизбежного понижения качества энергии. В изолированных системах происходит своего рода обесценивание энергии: все виды энергии в конечном счете превращаются в тепловую энергию, которая сама по себе не может не может превратиться в механическую энергию.
Энтропия как мера молекулярного беспорядка. Благодаря работам великого австрийского физика Больцмана понятие энтропии удалось свести с макроскопического на микроскопический уровень. По Больцману энтропия пропорциональна логарифму термодинамической вероятности, которая определяется как число микросостояний системы, которыми реализуется данное макросостояние системы. Очевидно, что чем больше упорядоченность в распределении элементов, образующих систему, тем меньшим числом микросостояний может быть реализовано данное макростостояние. Например, равномерному распределению молекул газа в объеме соответствует максимальное число возможных комбинаций, т.е перестановок этих молекул, не изменяющих равномерности их распределения.
Статистическая природа второго начала термодинамики. В соответствии с определением энтропии по Больцману второе начало термодинамики можно сформулировать следующим образом: энтропия изолированной системы при протекании необратимых процессов возрастает, ибо система, предоставленная самой себе, переходит из менее вероятного состояния в более вероятное. Энтропия системы в состоянии равновесия максимально и постоянно.
Второй закон термодинамики как принцип нарастания беспорядка и разрушения структур. Разрушение существующих структур – одна из форм нарастания беспорядка в системе, т.е. проявление принципа нарастания беспорядка.
Энтропия как мера отсутствия информации. Обмен информацией (в самом широком смысле – сведениями, передаваемыми от одних объектов к другим) современной наукой рассматривается как одно из условий открытости сложных систем. В отсутствие информации извне управление системой, что тождественно поддержанию или усилению порядка в системе, невозможно, поэтому отсутствие или дефицит информации приводит к возрастанию энтропии в системе.
Основной парадокс эволюционной картины мира: закономерность эволюции на фоне всеобщего роста энтропии. Энтропия открытой системы: производство энтропии в системе, входящий и выходящий потоки энтропии. Термодинамика жизни: добывание упорядоченности из окружающей среды. Термодинамика Земли как открытой системы. Рассматривая Землю как изолированную систему, что изначально неверно, можно предположить, что в этой системе возможны только процессы деградации, застоя и нарастания хаоса. В тоже время, очевидны процессы эволюции живой природы, а также прогресс цивилизации. Разрешение этого парадокса следует из рассмотрения земной системы как системы сложной, состоящей из отдельных, но взаимодействующих подсистем: живая природа – неживая природа, человек – окружающая среда и т.п. В такой сложной системе уменьшение энтропии, т.е. беспорядка в одной подсистеме может происходить за счет увеличения энтропии в другой подсистеме. Вся картина усложняется при учете того обстоятельства, что человек, природа, вся планета Земля являются частью космоса и в этом смысле Земля – открытая система, все взаимодействия которой с внешним миром еще не полностью изучены.
Понятия системы, основные характеристики системы.
Система – это совокупность элементов, находящихся во взаимодействии и связаны определенной структурой.
Базовый блок любой системы – составляющие ее элементы, каждый элемент характеризуется набором состояний, в которой он может находиться.
Схема функционирования элемента системы:
Для многих систем характерен принцип обратной связи – выходной сигнал может использоваться для коррекции управления.
S(t) – состояние элемента в момент t.
U(t) – управление элементом в момент t.
a(t) – внешняя среда элемента в момент t.
E(t) – случайные воздействия элемента в момент t.
Y(t) – выходной сигнал элемента в момент t.
В общем случае описание функционирования элемента системы производится при помощи системы дифференциальных или разностных уравнений следующего вида:
Y(t) =f(S(t), S(t-1), …,U(t),U(t-1),…,a(t),a(t-1),…,E(t),E(t-1),…)
(Y(t) = g (S(t), a(t), E(t)) (1)
Примеры структуры системы:
линейная (последовательная):
иерархическая (древовидная):
радиальная (звездообразная):
сотовая или матричная:
многосвязная – с произвольной структурой.
При анализе динамических систем рассмотрим решение следующих задач:
Задача наблюдения – состоит в определении состояния системы в момент времени S(t) по данным выходных величин (о их поведении) в будущем.
Найти S(t)
, зная,
для системы с дискретным временем.
для систем с непрерывным временем.
Задача идентификации – в определении текущего состояния S(t) по данным о поведении выходных величин в прошлом.
3. Задачи прогнозирования – определение будущих состояний по данным ткущих и
прошлых значений.
Найти S
(t+1),
S
(t+2),…
зная
Задача поиска управления – найти управляющую последовательность U(t), U(t+1),…, U(S), S > t, которая приводит систему из состояния S(t) = X в состояние S(S) = Y.
Задача синтеза максимального управления – состоит в определенной оптимальной последовательности управляющих воздействий U*(t) решающий задачу 4 и максимальную целевую функцию или функциональную:
F(S(t)), t = 0,1,2,…
Типы систем:
По наличию случайных факторов:
Детерминированные
Стохастические – влиянием случайных факторов нельзя принебреч.
2. По учету фактора времени:
Системы с непрерывным временем
Системы с дискретным временем
3. По влиянию прошлых периодов:
Марковские системы – для решения 1 и 2 задач нужна информация только за непосредственно предшествующий или последующий период. Для Марковской систем уравнение (1) принимает вид: G(S(t), S(t-1), U(t), U(t-1), a(t), a(t-1), E(t), E(t-1)) = 0
Немарковские.
Некоторые общие свойства систем:
причинность – возможность предсказывать последствия некоторых последствий в будущем. Част. случай: предопределенность системы означает, что в сущности такие состояния, для которых вся будущая эволюция системы может быть вычислена на базе прошлых наблюдений.
управляемость – состоит в том, что подходящим выбором входного воздействия U можно добиться любого входного сигнала Y.
устойчивость – система является устойчивой, если при достаточно малых изменениях условий ее функционирования поведение системы существенно не изменится.
инерционность – возникновение запаздываний в системе при реакции (запаздывания) на изменение управления и (или) внешней среды.
адаптивность – способность системы изменять поведения и (или) свою структуру в ответ на изменение внешней среды.
Детерминированные динамические системы с дискретным временем.
Многие приложения в экономике требуют моделирования систем во времени.
Состояние системы в момент времени t описывается мерным вектором X(t).
X(t) = ….. , X (t) R n (R – множество всех вещественных чисел)
t
Эволюция системы со временем описывается функцией
G (X 0 , t, ) , где
X 0 – начальное состояние системы;
t – время;
- вектор параметров.
Функция g(*) называют также переходной функцией
Функция g(*) – это правило, описывающее текущее состояние как функцию от времени, начальных условий и параметров.
Например: X t = X 0 (1+) t = g (X 0 , t, )
Функция g(*) как правило не известна. Обычно она задана неявно как решение системы разностных уравнений.
Разностное уравнение или система уравнений – это уравнения в следующей форме: F (t, X t , X t +1 , …, X t + m , ) = 0 (1), где
X t – состояние системы в момент времени t.
Решение уравнения (1) – это последовательность векторов
X t = X 0 , X 1 ,…,
Обычно предполагается, что уравнение (1) можно решить аналитически относительно X t + m и переписать в форме так называемых уравнений – состояний:
X t+m = f (t, X t , X t+1 , …,X t+m-1 , )(2)
Например:
X t +2 = X t + X t +1 /2 + t
Любую систему представляют в форме (2) всегда можно?
Разностное уравнение (2) называется линейным, если F(*) является линейной фуекцией переменных состояний (не обязательно линейно относительно )
В уравнениях (1) и (2) величина m называется порядком системы не является серьезным ограничением, так как системы более высокого порядка путем введения дополнительных переменных и уравнений.
Пример: X t = f (X t -1 , Y t -1) – система 2-го порядка
Введем Y t
= X t -1
X t = f(X t -1 , Y t -1)
Таким образом, мы будем рассматривать только системы 1-го порядка следующего вида:
X t -1 = f(t, X t , ) (3)
Уравнение (3) называется автономным, если t не входит в него отдельным аргументом.
Пример:
Рассмотрим динамику основных фондов на предприятии
K t – стоимость основных фондов предприятия в период t.
- норма амортизации, то есть % основных фондов, которые изъяли на предприятии за год.
I t = инвестиции в основные фонды.
K t +1 = (1 - )K t + I t – уравнение 1-го порядка, линейное, если I t = I, тогда
K t +1 = (1 - )K t + I – уравнение автономное
Если I t = I(t) – неавтономное (зависит от t)
Решение уравнения (3) – это последовательность векторов состояния {X t }, удовлетворяющих уравнению (3) для всех возможных состояний. Эта последовательность называется траекторией системы. Уравнение (3) показывает, как состояние системы изменяется от периода к периоду, а траектория системы дает ее эволюцию как функцию начальных условий и состояния внешней среды .
Если известно начальное состояние X 0 , легко получить последовательность решений путем итеративного применения отношения (3), получим переходную функцию следующим образом:
X t +1 = f (t, X t , )
X 1 = f (0, X 0 , ) = g (0, X 0 , )
X 2 = f (1, X, ) = f (1; f (0, X 0 , );) = g (1, X 0 , )
X t+1 = f (t, X t , ) = f (t, g, (t – 1, X 0 , ),) = g (t, X 0 , )
Если f (*) однозначная, всюду определенна функция, то существует уникальное решение уравнения (3) для любого X 0 .
Если функция имеет вид f (t, X t , ) = / X t – не всюду опрделенная.
Если f (*) непрерывная дифференциальная функция, то решение также будет гладким относительно и X 0
Полученное решение зависит от начального состояния X 0 .
Задача с граничным условием состоит из уравнения (3) и граничного условия, задаваемого в формуле:
X s = X s (4)
Если в уравнении (4) – S = 0 , то оно называется начальным состоянием.
Уравнение (3) имеет много решений, а уравнение (3) + (4) – система – единственное решение, поэтому различают общее и частное решение разностного уравнению (3):
X t g = X(t, c, ) = {X t (X t +1 = f (t, X t , ))} , где параметр е индексирует частное решение.
X t – размер вклада в момент t
Z - % я ставка
X t +1 = X t (1+ z) ; X 0 = …
X 1 = X 0 (1 + z)
X 2 = X 1 (1 + z) = X 0 (1 + z) 2 = g (X 0 , t, z) , где t = 2
Если можно найти общее решение системы (3) . у нас будет полная информация о поведении системы со временем, будет легко определить, как система реагирует на изменение параметров.
К сожалению, общее решение существует только для определенных классов l – го порядка (в частности для линейных систем)
Автономные системы
Поведение автономных систем задается разностным уравнением
X t +1 = f (X t , ) (1)
Автономные системы моделируют ситуации, где структура системы остается неизменной со временем. Это дает возможность использовать для анализа графический метод.
X t =1 = f (t, X t , )
X t = X t +1 – X t = f (t, X t , ) - X t = d (t, X t , ) (2)
Функция d (*) показывает на сколько изменится состояние системы от периода к периоду. В каждой точке X t можно сопоставить вектор X t в соответствующем уравнении (2) Функция d (*) в этом контексте называется векторным полем
X 0 /t = 0
Для автономных
систем
и
В автономных системах все системы, попавшие когда-либо в т. Х 0 в последствии следуют одной и той же траекторией. В неавтономных системах поведение зависит также и от того, когда система попала в т. Х 0.
При начальном условии Х 0 для автономных систем применим уравнение (1):
дважды последовательно примененная.
В выше приведенной системе f t означает результат t-кратного итеративного применения функции f () к своему аргументу. Функция f t показывает, куда перейдет система за t периодов из начального состояния.
X t – куда перейдет система из т. Х 0 за t периодов времени.
Функция f t иногда называется потоком системы.
Устойчивые состояния. Периодические равновесия. Стабильность .
С течением времени система переходит к устойчивому состоянию. Поэтому нас будет интересовать асимптотическое поведение системы при t → ∞.
Рассмотрим систему
Следовательно,
если
существует, то
.
Точка Х, удовлетворяющая
уравнению
называется неподвижной точкой отображения
.
Точка называется в контексте динамических систем устойчивым состоянием или стационарным состоянием.
Неподвижные точки широко используются для изучения долговременного поведения динамических систем.
если
,
то 1 в противном случае 0
Теория устойчивости Ляпунова
Точка
называется стабильной по Ляпунову, если
для любого числа
существует такое число,
,
что из условия
для всех
.
–длина вектора на плоскости.
–равновесное состояние.
–норма вектора Х.
Точка будет стабильной по Ляпунову в том случае, когда система один раз попав в окрестность точкии в дальнейшем останется в окрестности.
Точка называется асимптотически устойчивой по Ляпунову если:
Для асимптотически устойчивых систем с течением времени система подходит все ближе и ближе к своему равновесному состоянию.
Система ведет себя так:
–поток системы
–куда перейдет система через к шагов
Периодическим
решением динамической системы
называется решение в форме
,
где р – период системы или период
траектории.
Таким образом,
периодическое решение является
неподвижной точкой отображения
.
Неподвижная точка
Проверим, есть ли
неподвижная точка
:
любая точка является неподвижной.
Скалярные линейные системы
Скалярные линейные
системы имеют форму:
(1)
–уравнение, подданное в момент t.
Если в уравнении
(1)
,
то
,
то оно называется однородным.
Однородные линейные системы
Для скалярных
систем удобно анализировать поведение
системы при помощи фазовой диаграммы.
Фазовая диаграмма – это график зависимости
Случай 1. 0 Является аналитически
стабильной –линейная, если
а=1, под 45 0
– угол наклона. Для 0